Il Giappone acquista
i modelli matematici del CNR

L' Istituto per la Matematica Applicata (IMA) del CNR di Genova svolge da anni ricerche nei settori della modellistica computazionale e della didattica, ed è impegnato su diverse attività di trasferimento tecnologico e di formazione (vedi n. 6 di "Ricerca & Futuro").

Nel settembre scorso, l'Istituto ha concluso un significativo contratto di ricerca con la società Monolith Ltd di Tokyo per la quale svilupperà un sistema innovativo per la modellazione ad alta fedeltà del territorio, nel quadro di un programma finanziato dal loro Governo. La firma del contratto, dopo quasi un anno di approfondimenti e trattative, conclude concretamente la visita effettuata all'IMA, l'anno passato, da una delegazione di esponenti del mondo industriale e tecnico giapponese, di cui la Monolith Ltd faceva parte. Visita organizzata dal JETRO, Ente governativo nipponico che promuove lo sviluppo della cooperazione con altri Paesi nel campo delle tecnologie avanzate.

L'avvio dell'importante contratto è stato senza dubbio favorito dalla lunga attività di cooperazione scientifica tra l'IMA ed il Giappone, con l'Università di Tokyo prima e con quella di Aizu-Wakamatsu poi, che ha permesso di approfondire diverse tematiche di interesse comune ed ha favorito la nascita di diverse iniziative scientifiche (Bianca Falcidieno è Editor-in-Chief di una rivista scientifica internazionale nata nell'ambito della collaborazione tra IMA e Università giapponesi ed è attivamente coinvolta nell'organizzazione di convegni internazionali in Giappone).

Per l'IMA questa collaborazione ha rappresentato un buon biglietto da visita nei confronti di Monolith Ltd nella scelta di partner qualificati da coinvolgere nello sviluppo dei loro progetti. Monolith Ltd è molto attiva nel supportare tecnologie innovative ed attenta nel dare ascolto, e a volte prevedere, esigenze del mondo applicativo, come esemplificato dal progetto in questione. Fondamentale a questo livello il ruolo della matematica applicata che ha il compito di analizzare le esigenze applicative, confrontarle con i modelli esistenti ed, eventualmente, ridisegnare completamente lo schema formale di rappresentazione del fenomeno in gioco ed i relativi meccanismi di analisi ed interazione.

Entrando nello specifico, il progetto ha lo scopo di sviluppare un prototipo di un sistema per la modellazione digitale ad alta fedeltà del territorio: vediamo di chiarire quali sono le competenze matematiche con cui affrontiamo il progetto e quali sono le motivazioni e gli aspetti innovativi della nostra proposta.

Fig.1: analisi di curvatura
di una superficie

Il contenuto matematico, in senso tradizionale, è fortemente legato alla teoria dell'approssimazione ed analisi di superfici, riferita quest'ultima sia a strumenti classici (tipicamente, punti critici e curvatura, come mostrato in figura 1) sia a strumenti più sofisticati (teoria Morse, grafi di Reeb, omotopia).

Il contributo matematico, nel senso più proprio della matematica applicata, va ancora visto nell'integrazione delle teorie classiche con il contesto applicativo specifico ed i vincoli o problemi che esso comporta. Inoltre, il supporto della tecnologia informatica apre diverse e nuove prospettive ai matematici applicati, sia dal punto di vista della potenza di calcolo, ora a disposizione di tutti, sia per l'enorme vantaggio che deriva dal poter "visualizzare" su uno schermo situazioni reali o virtuali di interesse per gli utenti.

Fig.2: modello digitale
del fondale marino
in Antartide

Vediamo ora cosa si intende per modello digitale del terreno. In generale, la modellazione di un fenomeno corrisponde alla definizione delle entità e delle regole che meglio si adattano alla descrizione del fenomeno e del suo comportamento, dando così luogo ad una struttura formale che può essere interrogata ed utilizzata come se fosse il fenomeno stesso. Un modello digitale di terreno può essere visto efficacemente come un "plastico virtuale" (vedi figura 2), che può quindi essere visualizzato, analizzato o manipolato tramite un computer, facendo uso di un software specializzato che, generalmente, viene denominato GIS (Geographical Information System).

Oltre alla resa puramente grafica, il modello digitale deve soprattutto fornire un'approssimazione del terreno che rappresenta, ossia un modello matematico che consenta all'utente di ricavare informazioni sul terreno anche al di fuori dell'insieme dei dati acquisiti.

Tale approssimazione si dice, più propriamente, modello geometrico della superficie.
Nella figura 3, vediamo raffigurate le fasi principali del processo di modellazione di un terreno:

Fig.3: Il processo di modellazione applicato alle superfici naturali

un modello matematico astratto adatto a rappresentare un terreno è, ad esempio, una funzione z=F(x,y), dove i valori x,y sono coordinate reali (ad esempio, latitudine e longitudine) mentre la z corrisponde all'elevazione del terreno nel punto. La scelta di un modello astratto di questo tipo restringe la classe delle superfici rappresentabili a quelle effettivamente in 2.5D, ossia al suolo senza considerare grotte, spaccature e situazioni in cui ad una stessa posizione corrisponda più di una elevazione.

La funzione F può approssimare e/o interpolare la superficie reale in modo globale o locale, a seconda che si richieda che nei punti campione l'uguaglianza sia approssimata o stretta. Ovviamente il modello sarà diverso a seconda del variare della forma analitica della funzione F, che sarà scelta in base all'applicazione prevista, ossia al tipo di operazioni che si intendono effettuare sul modello: se si vuole solo visualizzare l'insieme dei dati, le proprietà imposte alla funzione F potrebbero essere quelle di regolarità delle derivate, per assicurare un'apparenza regolare del terreno; se si vuole utilizzare il modello per calcolare valori di elevazione in punti diversi da quelli campione, occorre invece scegliere dei metodi di calcolo della funzione approssimante F che assicurino un minimo errore di approssimazione. Ad esempio, può essere scelto un tipo di approssimazione lineare a pezzi.

Rappresentazioni diverse in grado di supportare questo stesso modello sono, ad esempio, la triangolazione o la griglia, costituiti in generale da un grande numero di primitive geometriche semplici, quali punti, linee o poligoni.

Se da una parte la presenza di informazioni geometriche di basso livello è essenziale per gli aspetti di approssimazione, d'altra parte sarebbe auspicabile poter comunicare con il modello ad un livello di astrazione più alto che permetta di legare direttamente ad esso proprietà particolari. Spieghiamo con un esempio: supponiamo di voler descrivere il paesaggio raffigurato in figura 2. Tale paesaggio può essere efficacemente descritto in termini linguistici come un territorio prevalentemente montuoso, con una fitta rete di creste e fondovalli che si intrecciano. Inoltre, elemento preminente è una lunga valle principale, lungo la quale potrebbe ad esempio scorrere un fiume. E' chiaro, dunque, che poco importa a questo livello di quanti e quali poligoni sia costituito il modello, mentre facciamo pesantemente uso di "astrazioni" o "classificazioni" che ci permettono di raggruppare nuclei di informazioni di basso livello in gruppi a cui assegnare un significato (modello concettuale).

Uno dei punti chiave del progetto con la Monolith Ltd. è proprio il superamento dell'approccio tradizionale alla modellazione, tramite la definizione di rappresentazioni che rispecchino il livello semantico con il quale solitamente codifichiamo la nostra percezione del territorio. Sarebbe auspicabile in quest'ottica, un sistema che permetta di descrivere una superficie tramite entità di alto livello quali, ad esempio, caratteristiche morfologiche e proprietà, eventualmente utilizzando un linguaggio naturale, delegando al computer il compito di scomporre la scena in primitive di basso livello su cui il modello geometrico può essere costruito.

La modellazione di superfici naturali dovrebbe, quindi, essere intesa come un processo interattivo di raffinamento che richiede diversi livelli di modelli correlati, o astrazioni. In definitiva, il problema chiave consiste nel determinare un elemento astratto che permetta di integrare proprietà, cioè significato, con la geometria all'interno della descrizione della superficie, e nel definire strumenti per l'inserimento e la gestione di proprietà e di vincoli sulla superficie.

Per giungere ad una soluzione, occorre trovare una risposta a diversi sottoproblemi:

1) identificare proprietà, caratteristiche o vincoli che possano essere utili per descrivere una superficie in modo conciso, efficace ed intuitivo;

2) dare una definizione matematica rigorosa di tali proprietà in modo da poterle associare facilmente ad elementi della rappresentazione geometrica;

3) definire un modello concettuale che permetta all'utente di descrivere la superficie utilizzando queste caratteristiche;

4) definire dei meccanismi fondamentali od operatori che permettano di proiettare il modello concettuale nel modello geometrico e viceversa.

Per quanto riguarda il primo punto in particolare, riteniamo che l'analisi e la modellazione basata sulla forma sia il punto cruciale, dove per forma intendiamo un'entità che possiede sia una geometria particolare che un significato, ad esempio la semantica della geomorfologia per i terreni.

Fig.4: la rete di linee caratteristiche di un terreno rappresentato da un modello geometrico

Con riferimento alla figura 4, vediamo il risultato dell'estrazione automatica delle linee caratteristiche del terreno raffigurato, individuate da particolari configurazioni geometriche. Un'analisi "semantica" di tali forme caratteristichepermetterebbe di organizzare e classificare le linee come rete di valli e creste.

In questo contesto, sono molto significativi approcci matematici mirati all'astrazione topologica quali i grafi topologici di Reeb (vedi figura 5) che forniscono una descrizione astratta ed estremamente sintetica della forma di una superficie, facilmente riconducibile a modelli concettuali del terreno orientati alla semantica.

(a)	(b)	(c)
Fig.5: una superficie (a), il grafo di Reeb tra i suoi punti critici (b) e le aree di influenza ad essi associate (c)

Sono queste le competenze dell'IMA in ambito scientifico e applicativo che hanno convinto la Monolith Ltd. ad affidargli il compito di definire un prototipo di sistema per la modellazione del territorio, basato sulla struttura topologica e semantica della forma più che sulla sola geometria.